ネーター環とアルティン環

もう一昨日になってしまいましたが、環論の復習を。

この日はネーター環とアルティン環について勉強しました。

■ネーター環とは？
環Rのイデアルの空でないどんなクラスも極大元を持つとき（=極大条件を満たすとき）、Rをネーター環という。

ちなみにネーター環は、ネータ環、ネター環とも言うらしい。そしてネーターというのは人の名前で、このネーターさんは女性です。

■Rが昇鎖律（Ascending Chain Condition　以下acc）とは？
環Rのイデアルのどんな上昇列
I1⊂I2⊂…
に対しても、あるnがあって、In=In+1=…

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■以下の3つは同値関係
1.Rはネーター環
2.Rはaccを満たす
3.Rのどのイデアルも有限生成

以下は証明の手引きみたいなもの

1→2
Rの上昇列を考えると、ネーター環の条件より極大元が存在する。

2→3
Rの任意のイデアルIと、そのイデアルに含まれる元a1をとり、I1=(a1)とする。
I=I1なら有限生成。そうでないならa2⊂I-I1として、I2=(a1,a2)とする。

以下、これの繰り返しで、イデアルの上昇列はacc（昇鎖律）より有限生成。

3→1
1が成り立たないとして、無限に続く上昇列を考える。I=I1∪I2∪…とおくと、Iはイデアルになる。
ただ、3より有限生成なので、Iには有限個の元が含まれる。

また、有限個の元すべてを含む任意のイデアルIiが存在する。
あとは包含関係より、矛盾が生じる。

■R,S:環、R：ネーター環、で、環の全射準同型φ:R→SがあればSもネーター環

Sがaccであることを示せばよい。
つまりSのイデアルの上昇列考える。

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アルティン環についてはこの日はやっていません。ネーター環の逆らしいです。

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2週間後くらいにテストが…。問題を解かないと全然身につかないので、問題を解きたいのですが、集中力がないからなぁ。